Imagina esto: estás en un concurso de televisión — luces parpadeando, público aplaudiendo — y te presentan tres puertas. Detrás de una de ellas hay un coche nuevo. Detrás de las otras dos, hay cabras (sí, cabras).
El presentador, Monty Hall, dice:
“Elige una puerta. Si aciertas, el coche es tuyo.”
Tú eliges, por ejemplo, la Puerta 1.
Monty, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las otras dos puertas, revelando una cabra. Luego te pregunta:
“¿Quieres mantener tu elección o cambiar a la otra puerta que queda cerrada?”
Aquí va la pregunta de oro:
¿Debes mantener tu elección o cambiar de puerta?
Vamos a desentrañar las matemáticas y la psicología que hay detrás de esta decisión, que parece simple… pero no lo es.
La Intuición (Y Por Qué Suele Fallar)
La mayoría piensa:
“Quedan dos puertas. Una tiene el coche y la otra una cabra. Es 50-50. Da igual si cambio o no.”
Pero eso es incorrecto.
Parece que tienes un 50% de probabilidades, pero en realidad, si cambias tienes un 2/3 de probabilidad de ganar, no un 1/2.
Vamos a explicarlo paso a paso.
La Situación
Hay 3 puertas:
- 1 tiene un coche
- 2 tienen cabras
Tú:
- Eliges una puerta (por ejemplo, la Puerta 1)
- Monty abre una de las otras puertas, revelando una cabra
- Tienes que decidir: mantener tu elección o cambiar a la otra puerta cerrada
Definamos los eventos:
- P(el coche está detrás de tu puerta elegida) = 1/3
- P(el coche está detrás de una de las dos no elegidas) = 2/3
Cuando Monty revela una cabra (y siempre lo hará), esa probabilidad de 2/3 se concentra en la puerta que queda cerrada.
La Fórmula
Aquí están las probabilidades:
- Probabilidad de ganar si mantienes = 1/3
- Probabilidad de ganar si cambias = 2/3
Esto se debe a que:
- Tu elección inicial tenía solo un 1/3 de probabilidad de ser correcta
- La acción de Monty (mostrar una cabra) no cambia esa probabilidad inicial
- Por tanto, la probabilidad de 2/3 de que el coche estuviera en otra puerta se traslada completamente a la que queda cerrada
Regla general
P(ganar si cambias) = 2 / 3
P(ganar si mantienes) = 1 / 3
Un Ejemplo Realista
Veamos todos los escenarios posibles.
Caso 1: El coche está detrás de la Puerta 1 (la que elegiste)
- Monty abre la Puerta 2 o 3 (ambas tienen cabras)
- Cambias → pierdes
Ganarías si mantienes
Probabilidad: 1/3
Caso 2: El coche está detrás de la Puerta 2
- Tú elegiste la Puerta 1
- Monty abre la Puerta 3 (cabra)
- Cambias a la Puerta 2 → ganas
Ganarías si cambias
Probabilidad: 1/3
Caso 3: El coche está detrás de la Puerta 3
- Tú elegiste la Puerta 1
- Monty abre la Puerta 2 (cabra)
- Cambias a la Puerta 3 → ganas
Ganarías si cambias
Probabilidad: 1/3
Resumen
- En 2 de cada 3 casos, cambiar de puerta te hace ganar
- Solo en 1 de cada 3 casos, mantener te hace ganar
Por tanto
P(ganar cambiando) = 2 / 3
P(ganar manteniendo) = 1 / 3
Pero… ¿Por Qué Cuesta Tanto Creerlo?
El problema de Monty Hall parece un acertijo porque va en contra de nuestra intuición. Una vez que Monty abre una puerta, sentimos que el juego se reinicia y quedan dos puertas con 50-50 de probabilidad. Pero no es así.
Esto ocurre porque la acción de Monty de mostrar una cabra no es aleatoria — él sabe dónde está el coche. Nunca abrirá la puerta con el coche. Eso cambia completamente el juego.
Esto se llama en estadística probabilidad condicional — la probabilidad de que ocurra un evento sabiendo que otro ya ha ocurrido. El hecho de que Monty revele una cabra aporta información nueva que modifica las probabilidades.
Pruébalo Tú Mismo: Un Experimento Sencillo
Haz esta prueba con 3 cartas — 1 roja (el coche), 2 negras (las cabras):
- Barájalas y colócalas boca abajo.
- Elige una.
- Pide a un amigo (que sepa dónde está la carta roja) que te muestre una negra que no hayas elegido.
- Cambia siempre de carta.
Hazlo 20 veces. Verás que ganás alrededor de dos tercios de las veces si cambias.
Reflexión Final
El problema de Monty Hall es un clásico de la teoría de probabilidades porque demuestra de forma brillante cómo:
- Nuestra intuición puede engañarnos
- La información cambia los resultados
- Pensar estadísticamente revela verdades inesperadas
Así que la próxima vez que te encuentres frente a tres puertas en un concurso… ¡cambia! Matemáticamente, es tu mejor opción.
TL;DR
- Mantener = 1/3 de probabilidad de ganar
- Cambiar = 2/3 de probabilidad de ganar
- Monty siempre revela una cabra
- Cambiar es la mejor estrategia estadísticamente
Bonus
Ecuación Genérica de Probabilidad Condicional
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Explicación
Esta ecuación se lee como:
La probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B
es igual a la probabilidad de que ocurran A y B al mismo tiempo,
dividida por la probabilidad de que ocurra B.
Donde:
- P(A | B) es la probabilidad condicional de A dado B
- P(A ∩ B) es la probabilidad conjunta de que ocurran A y B
- P(B) es la probabilidad de que ocurra B
Aplicado al problema de Monty Hall:
- A = que el coche esté detrás de la puerta no elegida
- B = que Monty haya abierto una puerta con una cabra
En ese contexto, el hecho de que Monty abra una puerta con una cabra no es aleatorio, sino informado, lo que cambia las probabilidades de forma condicional. Por eso, la acción de Monty altera el escenario, y hace que cambiar de puerta sea matemáticamente más ventajoso.